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Abréviation :

JP = Journal de l’École polytechnique.

NB = Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris.

  Udaï Venedem

LAGRANGE

E. O. des Mémoires de Lagrange mettant au jour sa méthode de variation des constantes. Où l’on s’aperçoit d’un "miracle des notations"1, souvent porté au seul crédit de Poisson puisque l’on parle des "crochets de Poisson" sans plus savoir que c’est Lagrange qui les a inventés et en a initié l’usage.

Les deux articles sont très abrégés.

Le premier, Mémoire sur la théorie des variations des élémens des Planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites, est publié dans NB (N° 16, Janvier 1809, p. 270-275) ; il fut présenté à l’Institut National le 22 Août 1808.

Poisson présente ainsi le propos de Lagrange2 :

" M. Lagrange, dans un Mémoire lu à l’Institut, il y a environ un an, et M. Laplace, dans un supplément à la Mécanique céleste, publié à la même époque, ont su donner une forme nouvelle aux variations des élémens des planètes. Dans ces nouvelles formules, les différentielles des élémens sont exprimées au moyen des différences partielles d’une même fonction, comme dans les anciennes ; mais ces différences sont prises par rapport aux élémens de la planète troublée, et multipliées par des fonctions de ces mêmes élémens qui ne renferment pas le temps d’une manière explicite ; avantage précieux, sur-tout lorsqu’on veut calculer les inégalités séculaires, ou les inégalités à très-longues périodes, dépendantes d’un argument déterminé. "

Lagrange introduit la notation "abrégée" :

et (x,a,b) + (y,a,b) + (z,a,b) = [ a , b ]

où les x, y, z sont les coordonnées spatiales d’une planète.

Puis il montre (p.274) en effet que ces crochets sont des expressions "dans lesquelles le tems n’entre pas". Cette "propriété singulière" deviendra un domaine de recherches dans lequel Poisson va pouvoir s’illustrer : ses fameux crochets, qui apparaissent dans le mémoire précité3, ne sont autres que ceux de Lagrange, mais avec une inversion de l’ordre des variables qui fera le succès de l’opération. Lagrange en éprouvera quelque amertume sensible entre certaines lignes de la 2è édition (1811) de la Mécanique analytique où se retrouve l’essentiel du mémoire suivant.

√√√

Le second Mémoire de Lagrange, sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraire dans tous les problèmes de la mécanique, est publié dans NB (N° 23, Août 1809, p. 384-390) ; il fut présenté à l’Institut National le 13 Mars 1809 et avait fait déjà l’objet d’une annonce dans un court article (NB N° 19, Avril 1809, p. 324-5).

Lagrange montre avec une écriture et des moyens conceptuels encore plus simples, que la méthode de variation des constantes, mise au point pour traiter des mouvements planétaires, est valable pour beaucoup d’autre questions de mécanique, ou de mathématiques.

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1 Nous empruntons cette formule à Laplace, qui la forgea à propos d’une toute autre question, sa théorie des fonctions génératrices.

2 P. 267-8 de son Mémoire Sur la Variation des Constantes arbitraires dans les questions de Mécanique, lu à l’Institut le 16 Octobre 1809, in JP (15ème cahier, t. VIII, décembre 1809, p. 266-344).

3 P. 267-8 de son Mémoire Sur la Variation des Constantes arbitraires dans les questions de Mécanique, lu à l’Institut le 16 Octobre 1809, in JP (15ème cahier, t. VIII, décembre 1809, p. 266-344).

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